Penggunaan Uji Statistik Non Parametrik dalam Pengambilan Keputusan

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bab I ini akan dibahas mengenai latar belakang, perumusan makalah, dan tujuan penulisan dari makalah yang dibuat.

1.1.   Latar Belakang

 Laboratorium Sistem Kualitas (LSK) mengampu dua praktikum, yaitu praktikum Pengendalian Kualitas Statistik dan Material Teknik. Dalam makalah yang saya susun ini fokus pada materi praktikum Pengendalian Kualitas Statistik.

Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisaannya, dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisaan yang dilakukan.

Statistika dikelompokkan dalam dua kelompok yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia. Statistika deskriptif adalah statistik yang berkenaan dengan metode atau cara mendeskripsikan, menggambarkan, menjabarkan, atau menguraikan data. Statistik deskriptif mengacu pada bagaimana menata atau mengorganisasi data, menyajikan, dan menganalisis data. Menata, menyajikan, dan menganalisis data dapat dilakukan misalnya dengan menentukan nilai rata-rata hitung dan persen / proposisi. Cara lain untuk menggambarkan data adalah dengan membuat tabel, distribusi frekuensi, dan diagram atau grafik (Sugiyono, 2006).

Sedangkan pengertian Statistik inferensial adalah statistik yang berkenaan dengan cara penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh dari sampel untuk menggambarkan karakterisktik atau ciri dari suatu populasi. Dengan demikian dalam statistik inferensial dilakukan suatu generalisasi (perampatan atau memperumum) dan hal yang bersifat khusus (kecil) ke hal yang lebih luas (umum). Oleh karena itu, statistik inferensial disebut juga statistik induktif atau statistik penarikan kesimpulan. Pada statistik inferensial biasanya dilakukan pengujian hipotesis dan pendugaan mengenai karakteristik (ciri) dari suatu populasi, seperti mean dan Uji t (Sugiyono, 2006).

Statistika inferensia ada dua macam, yaitu statistika parametrik dan statistika non parametrik. Suatu hipotesis statistika merupakan pernyataan tentang fungsi peluang dari suatu atau lebih peubah acak. Hipotesis dikatakan sederhana apabila pernyataan menunjukkan ciri populasi secara lengkap. Bila tidak, hipotesis dikatakan majemuk. Hipotesis yang dipelajari yaitu hipotesis nol (H₀) dan hipotesis yang merupakan konklusi apabila hipotesis nol ditolak adalah hipotesis tandingan (H₁).

Secara umum ada tiga bentuk hipotesis:

1.      Hipotesis dua pihak (two tailed)

H0 : Φ = Φ0

H1 : Φ ≠ Φ0

2.      Hipotesis sepihak (kanan)

H0 : Φ ≤ Φ0

H1 : Φ > Φ0

3.      Hipotesis sepihak (kiri)

H0 : Φ ≥ Φ0

H1 : Φ < Φ0

Beberapa catatan penting mengenai penggunaan uji statistika nonparametrik

1.      Perumusan hipotesis harus didukung oleh landasan teoritis yang tepat sehingga kebenaran hipotesis dapat dipertanggungjawabkan. Contoh korelasi antara pendapatan dan pengeluaran harus ditentukan berdasarkan teori/substansi.

2.      Dianjurkan peneliti berusaha memilih hipotesis sepihak karena menunjukkan kedalaman pengetahuan peneliti terhadap permasalahan yang akan diselesaikan.

3.      Hipotesis dua pihak hanyalah dipakai jika peneliti kurang yakin tentang nilai parameter yang diharapkan.

4.      Benar atau salahnya hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan pasti kecuali bila kita memeriksa seluruh populasi. Oleh karena itu kita mengambil sampel random dari populasi tersebut dan menggunakan informasi yang dikandung sampel itu untuk memutuskan apakah hipotesis tersebut kemungkinan besar benar atau salah. Bukti data dari sampel yang tidak konsisten dengan hipotesis membawa kita pada penolakan hipotesis tersebut, demikian juga sebaliknya. Perlu ditegaskan bahwa penerimaan suatu hipotesis statistik adalah merupakan akibat dari ketidakcukupan bukti untuk menolaknya, dan tidak berimplikasi bahwa hipotesis itu benar.

5.      Secara umum, pengujian hipotesis dibedakan 2, pengujian hipotesis komparatif dan asosiasi. Pengujian hipotesis komparasi berkaitan dengan pengujian perbedaan (difference) mean antara dua kelompok atau lebih. Pengujian hipotesis asosiasi berkaitan dengan menguji antara dua variabel.

Dalam pengujian hipotesis sangat berhubungan dengan distribusi data populasi yang akan diuji. Bila distribusi data populasi yang akan diuji berbentuk normal/simetris/Gauss, maka proses pengujian dapat digunakan dengan pendekatan uji statistik parametrik. Sedangkan, bila distribusi data populasinya tidak normal atau tidak diketahui distribusinya maka dapat digunakan pendekatan uji statistik nonparametrik.

Statistik parametrik, pengujian hipotesisnya dan pengambilan keputusannya dipengaruhi oleh beberapa asumsi yang apabila tidak terpenuhi maka validitas hasil penelitian diragukan. Asumsi tersebut adalah :

a.       Normalitas distribusi populasi,

b.      Independensi pemilihan unit sampel dari populasi,

c.       Independensi pengamatan unit observasi,

d.      Kesamaan varians jika membandingkan dua atau sejumlah sampel,

e.       Variabel diukur paling sedikit dalam skala interval.

Akan tetapi, dalam prakteknya di lingkungan saat ini justru kondisi yang muncul tidak sesuai dengan asumsi diatas sehingga pengujian hipotesis dengan menggunakan statistika nonparametrik dipilih sebagai alternatif dalam pengambilan keputusan.

Makalah yang saya tulis ini mempunyai judul, “Penggunaan Uji Statistika Nonparametrik dalam Pengambilan Keputusan.”

1.2.  Perumusan Masalah

Perumusan masalah yang diambil dari penyusunan makalah ini adalah

a.       Definisi Statistika Nonparametrik

b.      Kelebihan dan kelemahan Statistika Nonparametrik

c.       Penggunaan Statistika Nonparametrik

d.      Metode Statistika Nonparametrik

1.3.  Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi persyaratan open recruitment calon asisten laboratorium Sistem Kualitas (LSK) Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknik, Universitas Sebelas Maret, Suarakarta.

BAB II

PEMBAHASAN

Pada bab II ini akan diberikan pembahasan mengenai Statistika Nonparametrik, yang meliputi definisi statistika nonparametrik, kelebihan dan kelemahan statistika nonparametrik, penggunaan statistika nonparametrik, dan jenis – jenis metode statistika nonparametrik.

2.1.  Definisi Statistika Nonparametrik

Istilah nonparametrik sendiri pertama kali digunakan oleh Wolfowitz, 1942. Istilah lain yang sering digunakan antara lain distribution-free statistics dan assumption-free test. Dari istilah-istilah ini, dengan mudah terlihat bahwa metode statistik nonparametrik merupakan metode statistik yang dapat digunakan dengan mengabaikan segala asumsi yang melandasi metode statistik parametrik, terutama yang berkaitan dengan distribusi normal.

Prosedur nonparametrik atau bebas-distribusi sekarang ini semakin banyak digunakan karena data yang disajikan tidak dalam sebagai nilai pada kontinu tetapi dalam skala ordinal sehingga wajar menyajikannya dalam bentuk rang. Pada statistika nonparametrik dapat digunakan untuk menganalisis data yang berskala ordinal dan nominal.

Skala ordinal yaitu lambang – lambang bilangan hasil pengukuran menunjukkan urutan atau tingkatan obyek yang diukur menurut karakteristik yang dipelajari. Sedangkan skala nominal adalah skala yang merupakan kategori atau kelompok dari suatu subyek. Misal, variabel jenis kelamin responden dikelompokkan menjadi dua, yaitu L dan P, masing – masing diberi kode 1 dan 2.

Kebanyakan statistik uji nonparametrik menggunakan konsep count dan rank dalam perhitungannya. Untuk pengujian dengan sampel berukuran kecil, tiap pengujian memiliki tabel pembanding masing – masing. Tabel eksak dari tiap tabel pembanding ini belum tentu mudah untuk dibuat. Untuk pengujian dengan ukuran contoh yang besar, beberapa statistik uji nonparametrik memiliki sebaran asimtotik yang biasanya normal baku atau chi-kuadrat.

2.2.  Kelebihan dan Kekurangan Statistika Nonparametrik

Berikut beberapa keuntungan yang dapat diperolah apabila kita memilih prosedur nonparametrik daripada prosedur parametrik :

a.    Jika ukuran sampel kita kecil, tidak ada pilihan lain yang lebih baik daripada menggunakan metode statistika nonparametrik, kecuali jika distribusi populasi jelas normal.

b.    Karena memerlukan sedikit asumsi, umunya metode nonparametrik lebih relevan pada situasi – situasi tertentu, sehingga kemungkinan penerapannya lebih luas. Disamping itu, kemungkinan digunakan secara salah (karena pelanggaran asumsi) lebih kecil daripada metode parametrik.

c.    Metode nonparametrik dapat digunakan meskipun data diukur dalam skala ordinal.

d.   Metode nonparametrik dapat digunakan meskipun data diukur dalam skala nominal (katagorikal). Sebaliknya tidak ada teknik parametrik yang dapat diterapkan untuk data nominal.

e.    Beberapa uji statistik nonparametrik dapat menganalisis perbedaan sejumlah sampel. Beberapa uji statistik parametrik dapat dipakai untuk menganalisi persoalan serupa tetapi menuntut pemenuhan sejumlah asumsi yang hampir tidak mungkin diwujudkan.

f.     Uji statistik nonparametrik mudah dilakukan meskipun tidak terdapat komputer (dapat dianalisa secara manual). Analisis data dapat diselesaikan hanya dengan menggunakan kalkulator tangan. Oleh karena itu, metode nonparametrik pantas disebut teknologi tepat guna yang masih dibutuhkan di negara – negara berkembang (dan terbelakang).

g.    Pada umumnya para peneliti dengan dasar matematika yang kurang merasakan bahwa konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami.

Selain kelebihan metode nonparametrik diatas, ditemukan pula kelemahan dari metode ini, yaitu :

1. Fleksibilitas terhadap skala pengukuran variabel kadang – kadang mendorong peneliti memilih metode nonparametrik, meskipun situasinya memungkinkan untuk menggunakan metode parametrik. Karena didasarkan asumsi yang lebih sedikit, metode nonparametrik secara statistik kurang kuat dibandingkan metode parametrik.
2. Jika asumsi untuk metode parametrik terpenuhi, dengan ukuran sampel yang sama, metode nonparametrik kurang memiliki kuasa dibandingkan metode parametrik.
3. Penyederhanaan data dari skala rasio atau interval ke dalam ordinal atau nominal meskipun merupakan pemborosan (detail) informasi yang sudah dikumpulkan.
4. Meski konsep dan prosedur nonparametrik sederhana, tetapi pekerjaan hitung – menghitung bisa membutuhkan banyak waktu jika ukuran sampel yang dianalisis besar.

2.3.  Penggunaan Statistika Nonparametrik

Berikut ini akan dijelaskan pedoman penggunaan uji statistika nonparametrik dalam pengambilan keputusan.

APLIKASI	TEST PARAMETRIK	TEST NONPARAMETRIK
Dua sampel saling berhubungan	Uji T Uji Z	ü  Sign Test ü  Wilcoxon Signed-Rank ü  Mc Nemar Change Test
Dua sampel tidak berhubungan	Uji T Uji Z	ü  Mann-whitney U test ü  Moses Extreme Reactions ü  Chi-square test ü  Kolmogorov-Smirnov Test ü  Walt-Wolfowitz runs
Beberapa sampel berhubungan		ü  Freidman test ü  Kendall W test ü  Cochran’s Q
Beberapa sampel tidak  berhubungan	Uji ANOVA (Uji F)	ü  Kruskal-Wallis test ü  Chi-square test ü  Median test

Macam Data	BENTUK HIPOTESA
	1 sampel	Komparatif 2 sampel		Komparatif lebih dari 2 sampel		Asosiatif/hubungan
		Dependen	Independen	Dependen	Independen
NOMINAL	Binomial Chi-square	McNemar	Fisher Exact Chi-square	Cochran Q	Chi-square	Koefisien Kontingensi (C)
ORDINAL	Run test Wilcoxon Matched Pairs	Sign test Mann Whitney U test Kolmogorov-Smirnov Wald Wolfowitz	Median test	Friedman	Median Extention Kruskal-Wallis	Korelasi Sparman Rank Korelasi Kendal Tau

2.4.  Metode Statistika Nonparametrik

Berikut ini akan dijelaskan beberapa metode pengambilan keputusan yang termasuk dalam uji statistika nonparametrik.

a.       Uji Tanda

Uji tanda digunakan untuk menguji hipotesis mengenai median populasi. Dalam banyak kasus prosedur nonparametrik, rataan digantikan oleh median sebagai parameter lokasi yang relevan untuk diuji.

Uji tanda juga mempunyai asumsi dimana asumsinya adalah distribusinya bersifat binomial. Binomial artinya mempunyai dua nilai. Nilai ini dilambangkan dengan tanda, yaitu positif dan negatif. Ini mengapa ia disebut uji tanda.

Uji tanda banyak digunakan karena uji ini paling mudah untuk dilakukan pengujiannya dan tidak memakan waktu yang lama. Pengerjaan pengujian ini terbilang cukup mudah. Apabila setiap nilai pengamatan memiliki nilai lebih besar dari nilai rataannya maka diganti dengan tanda (+). Sedangkan, apabila setiap nilai pengamatan memiliki nilai kurang dari nilai rataannya maka diganti dengan tanda (-). Dan, apabila nilai pengamatannya sama dengan nilai rataannya maka nilai pengamatan tersebut harus dibuang.

Pengujian uji tanda yang pertama dilakukan adalah menentukan hipotesis nolnya beserta dengan hipotesis tandingannya. Tentukan pula taraf nyatanya beserta nilai proporsi peubah binomial X-nya. Kemudian melakukan penghitungan  Z hitung (apabila jumlah sampel lebih dari 30) dengan nilai n merupakan jumlah data pengamatan setelah dibandingkan dengan nilai rataannya dan nilai x adalah jumlah data pengamatan dengan tanda (+). Dengan begitu nilai Z akan didapat dan nilai P (proporsi)nya dapat ditentukan. Keputusan H₀ akan ditolak apabila nilai P yang didapat lebih kecil atau sama dengan nilai taraf nyatanya.

b.      Uji Rang-Tanda

Uji Rang-Tanda dicetuskan oleh Frank Wilcoxon pada tahun 1945 dan saat ini disebut sebagai uji rang-tanda Wilcoxon. Uji ini memanfaatkan baik tanda maupun besarnya selisih. Uji rang-tanda Wilcoxon digunakan untuk kasus dua sampel yang dependen bila skala ukur memungkinkan kita menentukan besar selisih yang terjadi, jadi bukan sekedar hasil pengamatan yang berbeda saja. Uji rang-tanda Wilcoxon cocok digunakan bila kita dapat mengetahui besarnya selisih antara pasangan-pasangan harga pengamatan X₁ dan Y₁ berikut arah selisih yang bersangkutan. Apabila kita dapat menentukan besarnya setiap selisih, maka kita dapat menetapkan peringkat untuk masing-masing selisih itu. Melalui penyusunan peringkat selisih – selisih inilah uji Wilcoxon memanfaatkan informasi tambahan yang tersedia.

Asumsi :

·         Data untuk analisis terdiri atas n buah beda. D₁ = Y₁ – X₁

·         Sampel X dan sampel Y adalah Variabel- variable acak kontinyu dan beda X₁ - Y₁,  X₂ -Y₂…dst bersifat kontinyu pula.

·         Hipotesis nol yang di uji menyatakan bahwa median perbedaan pasangan nilai pengamatan kedua sampel sama dengan nol.

Langkah – langkah uji rang-tanda Wilcoxon :

1.    Asumsikan bahwa populasi perbedaan pasangan nilai pengamatan kedua sampel adalah variable acak kontinyu.

2.    Hipotesis

• Uji satu sisi :

a. Ho : W (+) = W (-)               Hi  : W (+) > W (-)

b.  Ho : W (+) = W (-)               Hi  : W (+) < W (-)

• Uji dua sisi :

Ho : W (+) = W (-)                Hi  : W (+) ≠ W (-)

W (+)  : Jumlah semua peringkat selisih pasangan pengamatan (W_i, Y_i) yang bertanda positif.

W (-) :  Jumlah semua peringkat selisih pasangan pengamatan (W_i, Y_i) yang bertanda negative

3.    Untuk setiap pasangan nilai pengamatan (X_i, Y_i), hitung perbedaannya (d_{i =} X_{i –} Y_i).

4.    Berikan peringkat terhadap perbedaan nilai pasangan pengamatan, mulai dari peringkat 1 untuk perbedaan terkecil hingga peringkat n untuk perbedaan terbesar. Bila terdapat perbedaan nilai pasangan yang sama, perbedaan pasangan nilai yang sama di beri peringkat rata-ratanya . untuk beda nol, tidak diperhatikan.

5.    Bubuhkan tanda kepada peringkat yang sudah dibuat itu: positif atau negative sesuai dengan tanda perbedaan nilai pengamatan aslinya.

6.    Hitung banyaknya d_i yang bertanda positif (disebut W₊) dan negative (disebut W_{_}).

7.    Statistik uji peringkat bertanda Wilcoxon ialah W. M yang dipakai ialah W₊ atau W_{_} yang nilainya lebih kecil :

8.    W₊ = ∑ R_{i (Semua peringkat positif)} dan               │W-│= │∑R_i│_{(Semua peringkat Negatif)}

Hipotesa nol ditolak apabilai nilai W₊, W_-, atau W lebih kecil atau sama dengan nilai di tabel yang sesuai.

c.       Uji Jumlah-rang

Uji ini dilakukan apabila ingin menguji kesamaan rataan dua distribusi yang kontinu yang jelas tidak normal dan sampelnya bebas.

Menguji H0	Tandingan H1	Hitunglah
μ1 = μ2	μ1 < μ2 μ1 > μ2 μ1  μ2	μ1 μ2 u

Misalkan n₁ banyaknya pengamatan dalam sampel yang lebih kecil, dan n₂ banyaknya pengamatan dalam sampel yang lebih besar. Urutkanlan n₁ dan n₂ pengamatan dari kecil ke besar dan beri peringkat. Bila terdapat yang seri, maka pengamatan tersebut diganti dengan dengan rataan rangnya jika keduanya dapat dibedakan (tidak seri).

Jumlah rang yang berasal dari n₁ pengamatan dalam sampel yang lebih kecil dinyatakan dengan w₁. Dan w₂ merupakan jumlah rang yang berasal dari n₂ pengamatan dalam sampel yang lebih besar.

Apabila nilai w₁ sudah ditemukan maka nilai w₂ dapat dicari. Seperti rumus dibawah ini,

w₁ + w₂ =

 w₂ =  - w1

Untuk pengujian ekasisi, hipotesis nol μ₁ = μ₂ ditolak dan diterima tandingannya μ₁ < μ₂ apabila w₁ kecil dan w₂ besar. Begitu pula, tandingan μ₁ > μ₂ dapat diterima jika w₁ besar dan w₂ kecil. Untuk pengujian dwisisi, tandingan μ₁  μ₂ diterima bila minimum dari w₁ dan w₂ cukup kecil.

d.      Uji Kruskal – Wallis

Uji Kruskal – Wallis sering pula disebut Uji H Kruskal – Wallis, adalah rampatan uji jumlah rang (dwisampel Wilcoxon) untuk sejumlah sampel k>=2. Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol bahwa k sampel bebas berasal dari populasi yang sama. Diperkenalkan oleh W.H. Kruskal dan W.A. Wallis pada tahun 1945, uji ini merupakan padanan cara nonparametrik untuk menguji kesamaan rataan dalam analisis variansi ekafaktor bila si pencoba ingin menghindari bahwa sampel berasal dari populasi normal.

Uji ini mirip dengan uji Anova pada data parametrik hanya saja tidak dipenuhi anggapan k kenormalan dari data. Analisis yang digunakan berdasarkan R_ij yaitu ranking data, bukan data itu sendiri.

Langkah – langkah uji Kruskal - Wallis :

1.      H₀ : Semua K populasi adalah identik

2.      H₁ : Tidak semua K populasi identik

3.      Tentukan taraf nyatanya.

4.      Tentukan daerah kritisnya dengan menggunakan tabel chi-kuadrat. Dengan derajat kebebasan v = k-1

5.      Melakukan perhitungan uji kruskal – wallis dengan rumus dibawah ini

h =

dengan n_i  merupakan jumlah data pengamatan disetiap sampel dan r_i merupakan jumlah rang dalam satu sampel data pengamatan.

6.      Bila nilai h jatuh dalam daerah kritis pada tabel, dengan derajat kebebasan v = k – 1, tolak H₀ pada taraf nyata. Dan terima H₀ jika tidak jatuh dalam daerah kritis pada tabel.

BAB III

KESIMPULAN

       Pada bab III ini akan diberikan kesimpulan mengenai makalah yang sudah ditulis.

1.        Statistika dikelompokkan dalam dua kelompok yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia.

2.        Statistika deskriptif adalah statistik yang berkenaan dengan metode atau cara mendeskripsikan, menggambarkan, menjabarkan, atau menguraikan data.

3.        Statistik inferensial adalah statistik yang berkenaan dengan cara penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh dari sampel untuk menggambarkan karakterisktik atau ciri dari suatu populasi.

4.        Statistika inferensial dibedakan menjadi dua yaitu statistika parametrik dan statistika nonparametrik. Statistika nonparametrik dapat digunakan untuk menganalisis data yang berskala ordinal dan nominal.

5.        Kelebihan statistika nonparametrik dari parametrik adalah perhitungannya lebih sederhana, data tidak harus kuantitatif, dan asumsi tidak mengikat.

6.        Kelemahan statistika nonparametrik adalah tidak terlalu efisien karena jumlah contoh atau sampel lebih besar.

7.        Beberapa metode pengambilan keputusan yang biasanya dilakukan menggunakan uji statistika nonparametrik adalah uji tanda, uji rang-tanda, uji jumlah-rang, uji kruskal-wallis, dll.

8.        Uji statistika nonparametrik lebih banyak menggunakan sistem rang atau peringkat dalam penentuan daerah kritisnya beserta dalam penarikan keputusan.